Determinanty verze 5 – uvažujeme zatím pouze reálné matice.

Homomorfismy $R^* \rightarrow R^*$ ¶

Definice: $R^* = R - \{0\}$, $R^*$ uažujeme jako multiplikativní grupu

Homomorfismus $R^* \rightarrow R^*$ je každá reálná funkce $g$, pro kterou platí $g(x\,y) = g(x)\,g(y)$.

Úloha: Chceme zjistit, jakou formu mají všechny homomorfismy $R^* \rightarrow R^*$.

Věta 1: Nechť $g$ je homomorfismus $R^* \rightarrow R^*$.
Pak platí, že buď $g(x) = |x|^\alpha$, nebo $g(x) = sign(x)\,|x|^\alpha$, kde $\alpha \in R$.

Důkaz: viz tvůj text, kapitoly 2 a 3 - tohle by se mělo nějak sloučit do jednoho důkazu pro $R^*$ jako multiplikativní grupu, bez odkazu na ten aditivní zápis v kap. 2, aby se vůbec nezaváděl.

$\Box$

Restrikce homomorfismů $GL(n) \rightarrow R^*$ na $GD(n)$¶

Definice: $GL(n)$ je grupa všech reálných regulárních matic. Homomorfismus $GL(n) \rightarrow R^*$ je každá funkce $f$, pro kterou platí

Poznámka: pro homomorfismy platí

kde jsme využili faktu, že $f(I)=1$ (viz Appendix).

Grupu všech regulárních diagonálních matic označíme jako $GD(n)$,
je to podgrupa $GL(n)$.

Úloha: Chceme zjistit, jak vypadá restrikce libovolného homomorfismu
$GL(n) \rightarrow R^*$ na podgrupu $GD(n)$.

Věta 2: Nechť $F: GL(n) \rightarrow R^*$ je homomorfismus a $f: GD(n) \rightarrow R^*$
je jeho restrikce na $GD(n)$. Pak $f$ se dá vyjádřit jako homomorfismus
$g: R^* \rightarrow R^*$ tak, že $f(D) \equiv g(\Pi\, d_i)$.

Důkaz: Použijeme permutační matice $P_i$, které prohodí 1. a $i$-tý řádek. $P_i$ vznikne z $I$ prohozením 1. a $i$-tého řádku, resp. prohozením 1. a $i$-tého sloupce (vyjde totéž). Platí $P_i^{-1} = P_i$, násobení zleva touto maticí prohodí řádky, násobení zprava prohodí sloupce; pro diagonální matici $D$ operace $P_i D P_i^{-1}$ prohodí 1. a $i$-tý prvek na diagonále.

$g$ je homomorfismus: $g(x)$ je def. jako $g(x) = f(diag(x, 1, \dots 1)0$, takže

$\Box$

Jestliže $f$ je homomorfismus $GD(n) \rightarrow R^*$, pak dle Věty 2 se dá vyjádřit jako
$f(D) \equiv g(\Pi\, d_i)$, kde $g$ je homomorfismus $R^* \rightarrow R^*$. Odtud dle Věty 1 plyne, že
buď

nebo

kde $\alpha \in R$.

Homomorfismy $GL(n) \rightarrow R^*$ ¶

Úloha: Hledáme všechny homomorfismy $GL(n) \rightarrow R^*$.

Věta 3: Každý homomorfismus na $GL(n)$ je jednoznačně určen svou restrikcí
na podgrupu $GD(n)$.

Důkaz:

1. If $C$ is diagonizable, then $C=P\,D\,P^{-1}$, where $D$ is diagonal and $P$ is invertible, and

   $$\begin{align*} f(C) &= f(P\,D\,P^{-1}) = f(P)\,f(D) \,f(P^{-1}) = f(P)\,f(P^{-1})\,f(D)\\ &= f(P\,P^{-1})\,f(D) = f(D). \end{align*}$$

   (7)

   Diagonální matice $D$ je určena jednoznačně až na pořadí prvků na diagonále (jsou na ní vlastní čísla matice $C$), tj. číslo $\Pi\, d_i$ je jednoznačné.

2. For general $A$, use polar decomposition $A=H\,U$, where both $H$ and $P$ are diagonizable. Then using the result from a) above:

   $$f(A) = f(H\,U) = f(H)\,f(U) = f(D_H)\,f(D_U) = f(D_H\,D_U) = f(D).$$

   (8)

   Zde již prvky matice $D$ nejsou určeny jednoznačně, protože $D_H$ a $D_U$ nemají určené pořadí prvků na diagonále, ale číslo $\Pi\, d_i$ už je jednoznačné.

Matice $D$ tedy není určena jednoznačně, avšak číslo $\Pi\, d_i$ je. Ze vztahů 5 a 6 tedy plyne, že rozšíření z $GD(n)$ na $GL(n)$ je jednoznačné.

$\Box$

Závěr: všechny homomorfismy $GL(n) \rightarrow R^*$ mají tvar

buď

nebo

kde $\alpha \in R$ a $D$ je matice z 8 (přesně řečeno, kterákoliv z matic získaných tímto postupem).

Homogenní homomorfismy $GL(n) \rightarrow R^*$ ¶

Definice: Homomorfismus $f: GL(n) \rightarrow R^*$ se nazývá homogenní (stupně $n$), jestliže
pro všechna $\lambda \in R^*$ platí

Poznámka: Z této definice plyne $f(\lambda A) = f((\lambda I) A) =f(\lambda I) \,f(A) = \lambda^n f(A)$.

Definice: Homomorfismus $f: GL(n) \rightarrow R^*$ se nazývá pozitivně homogenní, jestliže rovnost 11
platí pro všechna $\lambda > 0$. Poznámka: Pro $n$ sudé obě definice splývají.
Pro $n$ liché je pozitivní homogenita pouze nutnou podmínkou pro homogenitu.

Věta 4.1: Oba homomorfismy 9 a 10 jsou pozitivně homogenní na $GL(n)$,
právě když $\alpha = 1$. Důkaz – ověření rovnosti 11 pro $\lambda > 0$:

resp.

takže $f$ je pozitivně homogenní, právě když $\alpha = 1$.

$\Box$

Věta 4.2: Každý homogenní homomorfismus $f: GL(n) \rightarrow R^*$ má tvar
pro sudé $n$ buď

nebo

kde $D$ je libovolná matice z 8 . Pro liché $n$ má tvar pouze 15 .

Důkaz: Pro sudé $n$ plyne z Věty 4.1 a z toho, že pro sudé $n$ z pozitivní homogenity plyne homogenita. Pro liché $n$ může nastat případ $\lambda^n < 0$, který vylučuje variantu 14.

$\Box$

Definice determinantu na $GL(n)$ ¶

Na $GD(n)$ definujme determinant jako homogenní homomorfismus $GD(n) \rightarrow R^*$.
Z Věty 4.2 plyne, že pro liché $n$ je definice jednoznačná a že

Tato definice souhlasí se standardní definicí determinantu. Dodatečná podmínka pro sudé $n$, aby definice byla jednoznačná ? Nevím.

Mohli bychom například přidat podmínku, že $f(P_2) < 0$, kde $P_2$ je matice
z důkazu Věty 2. Nebo podmínku $f(diag(-1, 1, \dots 1)) = -1$.

Na $GL(n)$ definujme determinant jako rozšíření z grupy $GD(n)$, které je
dle Věty 3 jednoznačné a je dáno předpisem

kde $D$ je libovolná matice z 8 .

Věta 5: Výše uvedená definice determinantu na $GL(n)$ souhlasí se standardní definicí.

Důkaz: Determinant dle standardní definice a dle naší definice se shodují na $GD(n)$. Determinant na $GD(n)$ dle standardní definice i dle naší definice představují rozšíření z $GD(n)$ na $GL(n)$. Věta 3 říká, že rozšíření homomorfismu z $GD(n)$ na $GL(n)$ je jednoznačné.
Takže se obě definice musí shodovat.

$\Box$

A teď se to ještě musí projít a ověřit, že $R^*$ se dá nahradit $C^*$, a pak ještě z nějaké spojitosti odvodit, že to platí i pro neregulární matice.

{

Appendix¶

Platí, že složení dvou homomorfismů je homomorfismus, a že obraz jednotkového prvku je jednotkový prvek - viz např. <https://sites.math.washington.edu/~greenber/GroupHomomorphisms.pdf>